lunes, 24 de noviembre de 2008




APORTES DE LA TRIGONOMETRIA DE FRANCOIS VIETTE





¿Quien fue Viette?


François Viéte (1540-1603), matemático francés, que escribió bajo el nombre Latinized Franciscus Vieta. Estudió Derecho en la Universidad de Poitiers, y pasó a ser consejero jurídico. Vieta más tarde pasó a ser miembro del consejo del rey, que actúa en virtud de Henry III y Henry IV. Vieta Sin embargo, pasan su tiempo libre en los estudios matemáticos, y fue capaz de hacer importantes contribuciones a las matemáticas en las áreas de aritmética, álgebra, la trigonometría y la geometría.


¿CUÁLES FUERON LAS CONTRIBUCIONES DE VIÉTE A LAS MATEMÁTICAS?

Viéte tuvo dos períodos, el primero entre 1564 y 1568, el segundo en 1584 a 1589. En estos dos períodos pudo reflexionar sobre sus grandes descubrimientos en el campo de las matemáticas.

Sus contribuciones matemáticas tocan los campos de la aritmética, el álgebra, la trigonometría y la astronomía, sin descartar la geometría. Empezó trabajando en astronomía y en trigonometría.


Algunas de sus obras son las siguientes:

1.- La Harmonicon coeleste, realizada entre 1564 y1568, el cual es un trabajo de astronomía y trigonometría. Esta obra no se imprimió nunca.

2.- Canon mathematicus seu ad triangula, cuya impresión no duró menos de ocho años y que apareció finalmente en 1579. En esta obra se observa una utilización sistemática de los números decimales, empleando algunas veces la coma y una raya vertical para separar la parte entera de la parte decimal. Desea ardientemente promover el uso de los números decimales, ya que escribe que las fracciones sexagesimales y los múltiplos de sesenta deberían ser utilizados de manera esporádica o sencillamente eliminados de las matemáticas, mientras que se deberían usar con frecuencia, los múltiplos y submúltiplos de diez.
Por así escribe la apotema de un polígono regular de 96 lados, inscrito en un círculo de diámetro de 200 000, como 99 946 458.75, donde 99 946 va en negrita para indicar la parte entera. En ocasiones, escribe el mismo número con la expresión simbólica .

3.- El Canon mathematicus, contiene notables contribuciones a la trigonometría. Generaliza una aproximación analítica a la trigonometría que se designa a veces por el vocablo <>. Así, aplicando sistemáticamente el álgebra a la trigonometría.
En particular, en el Canon encontramos las siguientes identidades:


SEN θ=SEN (60º +θ) +SEN (60º-θ)
3 SENθ-4SEN3 θ =SEN3θ
CSCθ - COTθ=TAN (θ/2)
CSCθ + COTθ=COT (θ/2)



Viéte descubre de nuevo la mayor parte de las identidades elementales y obtiene fórmulas generales equivalentes a las expresiones de Sen(nx) y Cos(nx) en función de Sen x y Cos x. Consigue mediante una manipulación ingeniosa de los triángulos rectángulos y de la identidad:


Obtener formulas para el Sen(nx) y Cos(nx) equivalentes a:











Encontramos también, entre las formulas que convierten un producto de funciones en una suma o una diferencia, la formula obtenida por Viéte:


sen(A+B)+sen(A-B)=2senA*cosB
sen(A-B)- sen(A-B)=2senB*cosA


Y formulas análogas para los cósenos. Viéte obtiene también el teorema del coseno aunque lo formula así:











Donde a, b y c son los lados y C un ángulo.

4.- En su obra Variorum de Rebus Mathematicis, Publicada en 1593 encontramos un enunciado equivalente al del teorema de la tangente:






Donde A y B son ángulos, a y b son los lados de un triángulo.

Viéte considera la trigonometría como una rama Independiente de las matemáticas y hace una exposición de la misma análoga a la de Rhaeticus, aunque perfeccionando las tablas trigonométricas de este. Aumenta las tablas de Rhaeticus para las seis funciones trigonométricas dando valores para intervalos de un segundo con una precisión de siete decimales.

5.- Tratado de Algebra In Artem Analyticam Isagoge, publicado en Tours en 1591 y más tarde en París en 1624. Esta es la obra que hizo famoso a Viéte. En esta obra hace una contribución original al Álgebra simbólica que es sensiblemente análoga a nuestra concepción moderna.
Algunos de sus predecesores habían adelantado ya algunos rudimentos de simbolismo que evidenciaban preocupaciones muy legitimas - basta recordar, la expresión igual a 20, para X6 + 8X3 = 20, de Bombelli , los signos + y – de Johann Widmann , el signo = introducido por Recorde, el signo impreso por primera vez por Rudolff y la introducción por Jordanus Nemorarius de las letras para indicar magnitudes conocidas o no –sin embargo, antes de Viète no parece haber modo de distinguir la cantidad desconocida de las otras cantidades.

La solución elegida por Viéte es a la vez sencilla y eficaz. Las vocales (A, E, I,...) representan las cantidades desconocidas mientras que las consonantes (B, C, D,...) simbolizan las cantidades conocidas. Observemos que nuestra convención moderna, debida a René Descartes es contraria a la suya.

La adopción de Viéte de un simbolismo adecuado para identificar la cantidad desconocida y la utilización de los símbolos germánicos para la adición y substracción no son sin embargo suficientes para simbolizar completamente la ecuación cuadrática.
En efecto, su álgebra es moderna en algunos aspectos y antigua en lo que respecta a la utilización de palabras o abreviaturas.

De este modo, en vez de escribir la ecuación:
3ax2+5bx-x3= C
3BA2 +5FA-A2=D

Donde A es la incógnita y B, F y D parámetros, escribe:

B3 in A quadratus + F5 in A –A cubus aequatur de solido
O
B3 in A q + F5 in A – AC aequatur D solido,

Donde in significa multiplicar, q es la abreviatura de quadratus y C significa cubus.

Aunque su álgebra sea más sincopada que simbólica, supone un avance respecto a las anteriores. Además, el simbolismo de Viéte experimentara una mejora importante con la introducción de la notación AAA para A3 debida a Thomas Harriot (1560-1621) que había sido sugerida por Stifel en su Arithmetica Integra.

6.- De aequatioum recognitione et emendatione, publicado en París en 1615, ofrece transformaciones para aumentar o para multiplicar por una constante las raíces de una ecuación, e indicaciones acerca de las relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación polinómica.

Por ejemplo, se dio cuenta de que, si x3 + ax = 3b posee dos raíces positivas x1y x2 entonces


a=X12+X1X2+X22
b= X12 X2+X1X22


Donde a > 0 y b > 0. Así, en el capítulo XIV de la misma obra encontramos cuatro teoremas que estipulan la relación general entre los coeficientes y las raíces de una ecuación; sin embargo, el rechazo sistemático de las raíces negativas e imaginarias le impidió estudiar en profundidad las funciones simétricas de las raíces de ecuaciones.